Алексей родился в 1990 году в поселке Андреево Владимирской области. После окончания сельской школы поступил в Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное командное училище имени В.Ф. Маргелова. С 2012 года служил в 137-м гвардейском парашютно-десантном Рязанском полку. В разные годы занимал должности заместителя командира, командира парашютно-десантного и разведывательного взводов, и с 2020 года — командира разведывательной роты. Участвовал в специальной операции против международных террористических организаций на территории Сирии, награжден медалью «За заслуги перед Отечеством».
С 24 февраля 2022 года в составе своего подразделения принимал участие в специальной военной операции по защите Донецкой и Луганской Народных Республик. В марте рота под командованием Алексея выдвинулась на разведзадание. Во время продвижения по лесному массиву отряд попал в засаду. Капитан вел группу и в первые же минуты боя получил ранение, однако продолжил руководить действиями подразделения. Оценив сложившуюся ситуацию, Алексей Курганов принял решение ценой своей жизни прикрыть отступление бойцов. Оставив себе боеприпасы, он поручил разведчикам доставить захваченные секретные документы в штаб, а сам остался на поле боя. Ведя непрерывный огонь, он не давал возможности националистам выйти из укрытия и преследовать группу. Капитан удерживал превосходящие силы противника до последнего вздоха. Благодаря его подвигу, разведчики смогли выполнить боевое задание.
Указом Владимира Владимировича Путина от 31 марта 2022 года капитану Алексею Курганову посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации. В его родном поселке установлен памятник, а школу, в которой он учился, назвали его именем.